直线方程


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直线方程

直线方程的公式有以下几种:
点斜式(用于已知斜率和一点坐标)
$y-y_0=f'(x)(x-x_0)$
斜截式(用于已知斜率和y轴截距)点斜式的简化版,已知点(0,b)正好在y轴上
$y=kx+b$
两点式(用于已知两点坐标)(x_2,y_2) (x_1,y_1)
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

截距式(用于已知所有截距)

斜截式: y = kx + b
截距式: x / a + y / b = 1
两点式: (x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)
一般式: ax +by + c = 0 其中
a = y2 - y1,
b = x1 - x2,
c = x2 * y1 - x1 * y2;
只要知道两点坐标,代入任何一种公式,都可以求出直线的方程。

已知一个点P(X0, Y0), 求点到直线Ax + By + C = 0的距离公式为:
d = [AX0 + BY0 + C的绝对值]/[(A^2 + B^2)的算术平方根]

如求点P(-1, 2)到直线2X + Y - 10 = 0的距离:

X0 = -1, Y0 = 2, A = 2, B = 1, C = -10 代入公式
d =[2 * (-1) + 1 * 2 - 10 的绝对值] / 根号[2 * 2 + 1 * 1] = 10 / 根号5

已知两点的坐便(x1, y1); (x2, y2)
另外一个点的坐标是(x0, y0);
求(x0, y0)到经过(x1, y1); (x2, y2)直线的距离。

直线方程中
A = y2 - y1,
B = x1- x2,
C = x2 * y1 - x1 * y2;
点的直线的距离公式为:
double d = (fabs) / (sqrt(pow(y2 - y1, 2) + pow(x1 - x2, 2)));

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直线方程的各种形式
摘要:在平面解析几何中,直线方程有多种形式,在解决不同的问题时,使用适当的方程形式可以使问题简化,本文将列举出这些方程即性质。

  1. 一般式:$Ax+By+C=0$
    一般式说明了平面直角坐标系上一个一元二次方程表示一条直线,这是一种一一对应的关系。这里,A、B不同时为0,下面在表达斜率和截距时,分母均不为0,下文不再特殊说明。从直线的一般式中可以知道以下信息:
    斜率:$k=-\frac{A}{B}$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(A,B)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(B,-A)$
    x轴上的截距为:$-\frac{C}{A}$
  2. 点斜式:$y-y_0=k(x-x_0)$
    点斜式是由一个定点$P(x_0,y_0)$和斜率$k$确定的直线方程。
    斜率:$k$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(k,-1)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(1,k)$
    x轴上的截距为:$-\frac{y_0}{k} + x_0$
  3. 斜截式:$y=kx+b$
    斜截式是由斜率k和y轴上的截距b确定的直线方程。
    斜率:$k$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(k,-1)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(1,k)$
    x轴上的截距为:$-\frac{b}{k}$
  4. 两点式:$\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
    两点式是由已知的两个点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$所确定的直线方程。
    斜率:$k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(y_2-y_1,x_1-x_2)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$
    x轴上的截距为:$\frac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}$
  5. 点向式:$\frac{y-y_0}{b} = \frac{x-x_0}{a}$
    点向式是由已知的定点$P(x_0,y_0)$和方向向量$\vec{\mathbf{a}}=(a,b)$所确定的直线方程。
    斜率:$k = \frac{b}{a}$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(b,-a)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(a,b)$
    x轴上的截距为:$x_0-\frac{a}{b}y_0$
  6. 参数式:

    \(\left\{\begin{aligned} &x=x_0+at & \\ &y = y_0+bt & \\ \end{aligned}\right.\)
    这里的参数是t,是点向式的变式,也是由定点$P(x_0,y_0)$和方向向量$\vec{\mathbf{a}}=(a,b)$确定的。
    斜率:$k = \frac{b}{a}$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(b,-a)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(a,b)$
    x轴上的截距为:$x_0-\frac{a}{b}y_0$

  7. 特别参数式:

    \(\left\{\begin{aligned} &x=x_0+tcos\alpha & \\ &y = y_0+tsin\alpha & \\ \end{aligned}\right.\)
    这里的参数是t,是参数式的特例,即以直线的倾角$\alpha$为参数。
    斜率:$tan\alpha$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(sin\alpha ,-cos\alpha)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(cos\alpha ,sin\alpha )$
    x轴上的截距为:$x_0-\frac{1}{tan\alpha }y_0$,
    y轴上的截距为:$y_0-tan\alpha x_0$

  8. 点法式:$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$
    点法式是由定点$P(x_0,y_0)$和方向量$\vec{\mathbf{n}}=(A,B)$直接确定的直线方程。
    斜率:$-\frac{A}{B}$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(A,B)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(B,-A)$
    x轴上的截距为:$x_0+\frac{B}{A}y_0$,y轴上的截距为:$y_0+\frac{A}{B} x_0$

  9. 截距式:$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
    截距式是由x轴上的截距a和y轴上的截距b直接确定的直线方程,当然必须要截距不为0。
    斜率:$k = - \frac{b}{a}$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(\frac{1}{a},\frac{1}{b})$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(a,-b)$
    x轴上的截距为:$a$

  10. 点法式:$xcos\theta + ysin\theta -p=0$
    点法式是由直线与y轴的夹角$\theta$与原点O到直线的距离$p$,这里$p>0$,$\theta$是直线逆时针转向y轴的夹角。
    斜率:$k = -tan\theta$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}= cos\theta ,sin\theta)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(sin\theta ,-cos\theta)$
    x轴上的截距为:$\frac{p}{cos\theta}$,
    y轴上的截距为:$\frac{p}{sin\theta}$

  11. 切线式:$x_0x+y_0y=r^2$
    切线式表达的几何意义是,以原点O为圆心,r为半径,$P(x_0,y_0)$为切点的圆的切线。
    斜率:$k = -\frac{x_0}{y_0}$
    法向量:$\vec{\mathbf{n}}=(x_0,y_0)$
    方向向量:$\vec{\mathbf{a}}=(y_0 ,-x_0)$
    x轴上的截距为:$\frac{r^2}{y_0}$,
    y轴上的截距为:$\frac{r^2}{x_0}$

  12. 直线与直线的位置关系
    设有两条直线$l_1$、$l_2$,斜率分别为$k_1$、$k_2$,法向量分别为$\vec{n_1}$、$\vec{n_2}$,放量向量分别为$\vec{a_1}$、$\vec{a_2}$,那么则有:
    两直线平行的判定:

    \(l_1//l_2\Leftrightarrow k_1=k_2\Leftrightarrow \vec{n_1}//\vec{n_2}\Leftrightarrow \vec{a_1}//\vec{a_2}\)
    两直线垂直的判定:

    \(l_1\bot l_2\Leftrightarrow k_1\cdot k_2=-1\Leftrightarrow \vec{n_1}\bot \vec{n_2}\Leftrightarrow \vec{a_1}\bot \vec{a_2}\)
    两直线的夹角$\theta$:

    \(cos\theta =\|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\| =\|\frac{\vec{n_2}\cdot \vec{n_1}}{\|\vec{n_1}\|\cdot \|\vec{n_2}\|}\| =\|\frac{\vec{a_2}\cdot \vec{a_1}}{\|\vec{a_1}\|\cdot \|\vec{a_2}\|}\| \)
    直线上两点间距离d(主要用于求解弦长):

    \(d=\sqrt{1+k^2} \|x_2-x_1\|=\sqrt{1+k^2} \|y_2-y_1\|= \|t_2-t_1\|\),这里的t就是参数方程中的t,t的几何意义便是直线上动点$(x,y)$到定点$(x_0,y_0)$的有向线段的数量。

总结:直线的斜率表达了直线与x轴的夹角,法向量是垂直于直线的向量,方向向量是平行于直线的向量,因此可以用斜率、法向量、方向向量来判断平行、垂直与夹角。

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2 - y1) * x0 +(x1 - x2) * y0 + ((x2 * y1) -(x1 * y2 1
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