sort compose


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  1. 组合 -->有次序之后-->就是排列
    排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.

两种方法(思想)

我们一定先要思考是分类完成任务,还是分步完成任务。在分类的过程中,注意分类的合理性,不重复不遗漏;在分步的过程中,注意分步的先后顺序问题。

  1. 分步骤法则 (每一步依次相乘)
  2. 分类别法则 (每一类依次相加)

    三种场景

  3. 选取可重复 (选完还可以在选) P^r

  4. 选取不可重复+有次序 排列

  5. 选区不可重复+无次序 选择=排列/次序数

(一)两个基本原理是排列和组合的基础
(1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法.
(2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来.
(二)排列和排列数
(1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法.
(2)排列数公式:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列
当m=n时,为全排列Ann=n(n-1)(n-1)…3·2·1=n!
(三)组合和组合数
(1)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.
(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
这里要注意排列和组合的区别和联系,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的.
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于
(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力;
(2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解;
(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大;
(4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法
1.加法原理
2.加法原理的集合形式
3.分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)
(2)乘法原理和分步计数法
1.乘法原理
2.合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同

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