均值不等式


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均值不等式及其积分形式

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均值不等式及其积分形式

摘要:本文将给出均值不等式的简要证明并推导出其积分形式。

二维形式,就是最常见的基本不等式:

\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2} } \geqslant \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \geqslant \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\)
其推导只需看下面两个不证自明的图形即可:



先给出几个定义。 依次递减
  1. 平方平均数: $Qn = \sqrt{\frac{\sum{n}x_i2}{n}} = \sqrt{\frac{x_12+x_22+\cdots+x_n^2}{n}}$ 均方根,是指一组数据的平方的平均数的算术平方根

  2. 算数平均数: $An = \frac{\sum^{n}}{n} = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$

  3. 几何平均数: $Gn = \sqrt[n]{\prod^{n}x_i} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$

  4. 调和平均数: $Hn =\frac{n}{\sum^{n}\frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$

其中$x_i > 0$。

则有平均值不等式:$Q_n\geqslant A_n\geqslant G_n\geqslant H_n$。用语言描述即是调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算数平均数,算数平均数不超过平方平均数。

其积分形式如下:

$Ha^b = \frac{b-a}{\int{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx}$

$Ga^b = e^{\frac{\int{a}^{b} \ln f(x)dx}{b-a}}$

$Aa^b = \frac{\int{a}^{b} f(x)dx}{b-a}$

$Qa^b = \sqrt{\frac{\int{a}^{b} f^2(x)dx}{b-a}}$

则有:$H_a^b\leqslant G_a^b\leqslant A_a^b\leqslant Q_a^b$。

均值不等式的证明方法有很多,可以使用数学归纳法、柯西不等式法、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法等。

然后再利用数学归纳法就可以推广n维的情形,有兴趣的读者可以自行证明,或者查阅相关资料,在日后的文章里,我们说到其余不等式时,还会反过来证明均值不等式,这里就不多说了。

我们只讲一个课本中很少讲到的柯西归纳法来证明算术-几何平均值不等式。

下面我们着重讲解使用定积分定义法来证明其积分形式。

证明:

先证$A_a^b\leqslant Q_a^b$,

因为$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \leqslant\sqrt{\frac{x_12+x_22+\cdots+x_n^2}{n}}$

所以$\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} \leqslant\sqrt{\frac{f2(x_1)+f2(x_2)+\cdots+f^2(x_n)}{n}}$

所以$\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b-a}{n}\sum_^{n}{f(xi)} \leqslant \lim{n\rightarrow \infty }\sqrt{\frac{1}{b-a} \cdot \frac{b-a}{n}\sum_{n}{f2(x_i)} }$

由定积分定义,即:$\frac{\int_{a}^{b} f(x)dx}{b-a}\leqslant \sqrt{\frac{\int_{a}^{b} f^2(x)dx}{b-a}}$

再证 $G_a^b\leqslant A_a^b$,

因为$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} \leqslant \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$

两边取对数:$\frac{1}{n}(lnx_1+lnx_2+\cdots+lnx_n) \leqslant ln\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$

所以$\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b-a}{n}\sum_^{n}{lnf(xi)} \leqslant \lim{n\rightarrow \infty } ln [\frac{1}{b-a} \cdot \frac{b-a}{n}\sum_^{n}{f(x_i)]}$

由定积分定义:$\frac{\int_{a}^{b} lnf(x)dx}{b-a}\leqslant ln [\frac{\int_{a}^{b} f(x)dx}{b-a}]$

即:$e{\frac{\int_{a}{b} lnf(x)dx}{b-a}}\leqslant \frac{\int_{a}^{b} f(x)dx}{b-a}$

同理可证$H_a^b\leqslant G_a^b$

均值不等式的积分形式证毕。

在最后,我们顺便说一下柯西不等式的积分形式:

$\int_{a}^{b} f^2(x)dx \int_{a}^{b} g^2(x)dx \geqslant
\left(\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx \right) ^2
$,

证明与上面的方法如出一辙。

总结:均值不等式在不等式的证明上应用十分广泛,本文给出了其积分形式,并应用了一种用定积分定义的方式来证明积分形式的不等式,这种方法可以推广到一般形式,即可以通过已知的离散形式的不等式来证明与其相似形式的定积分不等式,反之亦然。

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