泰勒公式-Taylor

by · 2018年04月18日 · 2094 Words · ~5min reading time | Improve on

转如何通俗地解释泰勒公式？
泰勒的意义:
任意一点的f(x)的值都可以在以往的任意一点展开得到.
泰勒展开给予了我们预知未来的能力,或者说让我们拥有了合理解释从过去到现在所发生的变化.无非是由你看问题所在的时刻决定.

微分：是一个极限值；是当自变量x变化了一点点（dx）而导致了函数（f(x)）变化了多少。
比如，国民收入Y=f(x)，x是消费，那x变化了dx时，会导致Y变化多少呢？变化dY，这就是微分，而dY/dx就是这个单变量函数的导数。把微分dY视为dx的线性函数，那么导数就是这个线性函数的系数：注意，这个视角甚至可以推广到微分流形、泛函，等你以后深入学习到更高的层次就会知道，在这里打个伏笔。
差分：是一个有限值；粗糙地讲，就是离散化的微分，即$\Delta y$。当变化量很微小时，就近似看成dy。

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近任意光滑函数。

设
$n$
是一个正整数。如果定义在一个包含
$a$
的区间上的函数
$f$
在
$x_0$
点处
$n+1$
次可导，那么对于这个区间上的任意
$x$
都有：
对过去x_0时刻的解释
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$
或
对未来的预测
$\displaystyle f(x_0+\delta)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)$
其中的多项式称为函数在
$a$
处的泰勒展开式，
$R_n(x)$

是泰勒公式的余项且是 $(x-x_0)^n$ 的高阶无穷小。
---维基百科

泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果

的话，就是
麦克劳伦公式:

\[\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n+R_n(x)\]

0.泰勒公式是怎么推导的？

很多同学看到这段时，可能有点看不懂，牛顿插值的几何解释是怎么样的？-知乎

根据"以直代曲、化整为零"的数学思想，产生了泰勒公式。

把曲线等分为
$n$

份，分别为
$a_1$
，
$a_2$
，
$\cdots$
，
$a_ n$
，令
$a_1=a$
，
$a_2=a+\Delta x$
，
$\cdots$
，
$a_ n=a+(n-1)\Delta x$

。我们可以推出（
$\Delta ^2$
，
$\Delta ^3$

可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：

f(a_3)=f(a+2\Delta
x)=f(a+\Delta x)+\Delta f(a+\Delta x)=f(a)+2\Delta f(x)+\Delta
^2f(x)

f(a_4)=f(a+3\Delta
x)=f(a)+4\Delta f(x)+6\Delta ^2f(x)+4\Delta ^3f(x)+\Delta
^4f(x)

也就是说，f(x)全部可以由

和

决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限

，就可以推出泰勒公式。

1.多项式的函数图像特点

展开来就是

f(0)+f\'(0)x+\frac{f\'\'(0)}{2!}x^2+\cdots
+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^
n

，

，

这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。

可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于
$Y$

轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。

那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？

怎么才能让

和

的图像特性能结合起来呢？

我们来动手试试看看系数之间如何压制的：

点击此处前往操作。

通过改变系数，多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。送你一颗心（虽然是隐函数，意思一下）：

2.用多项式对

进行逼近

是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有

就是这么任性。

$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots + \frac{1}{n!}x^ n + R_n(x)$

增加一个

看看。

增加一个

看看。

可以看出，

不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近

。并且

越大，起作用的区域距离0越远。

3.用多项式对

进行逼近

是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。

sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\cdots +\frac{(-1)^
n}{(2n+1)!}x^{(2n+1)}+ R_
n(x)

。

同样的，我们再增加一个

试试。

可以看到

在适当的位置，改变了

的弯曲方向，最终让

x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7

更好的逼近了

。

一图胜前言，动手看看

的展开吧：

此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。
点击此处前往操作。

4.泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系

拉格朗日中值定理：如果函数
$f(x)$
满足，在
$a,b$
上连续，在
$(a,b)$

上可导，那么至少有一点
$\theta$
(
$a\<\theta \<b$
)使等式
$f\'(\theta )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

成立。----维基百科

数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义：

这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项

我们一直没有提。

余项即使用泰勒公式估算的误差，即

\displaystyle f(x)-\sum
_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n=R_
n(x)

余项的代数式是，

R_ n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta
)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}

，其中

。是不是看着有点像了？

当

的时候，根据泰勒公式有，

，把拉格朗日中值定理中的

换成

，那么拉格朗日中值定理根本就是

时的泰勒公式。

结合拉格朗日中值定理，我们来看看

的时候，泰勒公式的几何意义：

当

的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么

呢？

这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。

还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊？

泰勒公式的用处

多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如
$f(x)=2-3x$

，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问："嘿，老兄，你在4那点的值是多少？"这时
$f(x)$

会毫不犹豫的回答："你把4代进来，就会得到
$2-3\times 4=-10$

，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了..."。但是
$ln(x)$

阴暗、多疑，要是问它："嗨，你在3的值是多少啊？"你得到的答案可能是："你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！"----《微积分之倚天宝剑》

泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把

进行泰勒展开进行计算的。

泰勒公式还可以把问题简化，比如计算，

\displaystyle \lim _{x \to
0}\frac{sin(x)}{x}

，代入

的泰勒展开有：

\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=\lim
_{x \to
0}\frac{x+o(x^3)}{x}=1

，其中

是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小，

。解题神器有没有？

泰勒公式-Taylor

0.泰勒公式是怎么推导的？

分类

标签云