Derivative 导数
隐函数求导
===方法一===
*把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过[[多元函数]]的[[偏导数]]的商求得n元隐函数的导数。
====示例====
把一元隐函数$y=g(x)$看作二元函数$f(x,y)=0$，若欲求$\frac {dy}{dx}$，對$f$取全微分，可得$df(x,y)=f_xdx+f_ydy=0$，經過移項可得$\frac {dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y}$
（式中$f_x$表示$f(x,y)$關於$x$的偏导数$\frac {\partial f}{\partial x}$，以此類推）。
把2元隐函数$y=g(x,z)$看作3元函数$f(x,y,z)=0$，若欲求$\frac {\partial y}{\partial x}$，對$f$取全微分，可得$df(x,y,z)=f_xdx+f_ydy+f_zdz=0$ 。
由於所求為$\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}$，令z為常數，即$dz=0$，經過移項可得$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{f_x}{f_y}$
===方法二===
*針對1元隱函數，把$y$看作$x$的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对$x$求导，再通过移项求得$\frac {dy}{dx}$的值。
*針對2元隱函數，把$y,z$看作$x$的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对$x$求导，令$dz=0$，再通过移项求得$\frac {\partial y}{\partial x}$的值。
====示例====
*針對$y^n$：
$\frac{d}{dx}y^n = n \cdot y^{n-1}\frac{dy}{dx}$
*針對$x^m y^n$：
$\frac{d}{dx}x^m y^n = n \cdot x^m y^{n-1}\frac{dy}{dx} + m \cdot x^{m-1} y^n$
*求 $12x^7 - 7x^4 y^3 + 6xy^5 - 14y^6 + 25=10$ 中y對x的導數。
為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。
\[{\color{Blue}12x^7}{\color{Red}-7x^4 y^3}{\color{Green}+6xy^5}{\color{Brown}-14y^6}+25=10\]
1.兩邊皆取其相應的[[導數]]，得出
\[{\color{Blue}12\cdot7x^6}{\color{Red}-7\left(3x^4 y^2\frac{dy}{dx} + 4x^3 y^3 \right)}{\color{Green}+6\left(5xy^4\frac{dy}{dx} + y^5\right)}{\color{Brown}-14\cdot 6y^5\frac{dy}{dx}}+0=0\]
2.移項處理。
\[{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}={\color{Red}21x^4 y^2\frac{dy}{dx}}{\color{Green}- 30xy^4\frac{dy}{dx}}{\color{Brown}+84y^5\frac{dy}{dx}}\]
3.提出導數因子。
\[{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}=\left({\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5} \right)\left( \frac{dy}{dx} \right)\]
4.移項處理。
\[\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}}{{\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5}}\]
5.完成。得出其導數為$\frac{84x^6 - 28x^3 y^3 + 6y^5 }{21x^4 y^2 - 30xy^4 + 84y^5}$。
6.選擇性步驟：[[因式分解]]。
\[\frac{dy}{dx} = \frac{2\left(42x^6 - 14x^3 y^3 + 3y^5 \right)}{3y^2\left(7x^4 - 10xy^2 + 28y^3\right)}\]