法向量
直线的法向量与平行垂直直线系 | Math173
叉乘法: 向量并排写两遍，掐头去尾留中间，交叉相乘再作差
初中时，我们接触的直线方程为y=kx+b的形式，而在高中，我们有时会直接面对直线的一般式方程Ax+By+C=0，需要我们去习惯不转化成斜截式，直接得到与它平行或垂直的直线．我们可以借助于直线的法向量（是指与直线垂直的向量）去理解与记忆，直线Ax+By+C=0的法向量n⃗ =(A,B)
证明思路 1. 我们知道,若两个向量互相垂直,那么他们的内积为0
因为若(x0,y0)与(x,y)（x≠x0）都是直线Ax+By+C=0上的点，则有
{Ax+By+C=0,Ax0+By0+C=0,
两式相减得
A(x−x0)+B(y−y0)=0,
而(x−x0,y−y0)是直线的方向向量，所以(A,B)是直线的法向量．由此我们很容易得到直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直，则有
(A1,B1)⋅(A2,B2)=A1A2+B1B2=0.
于是有下面的结论：
任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:$x/a+y/b+z/c=1$,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量
设曲线参数方程 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线（c为常数，u(x,y,z)=c表示等高线），由于该曲线在曲面上，所以x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)满足方程u(x,y,z)=c，即u(x(t),y(t),z(t))=c，利用复合函数求导法则，方程两边同时对t求导数，得 (ðu/ðx)x‘(t)+(ðu/ðy)y‘(t)+(ðu/ðz)*z‘(t)=0，所以
向量(x'(t),y'(t),z'(t))【切向方向】与
向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)【梯度】垂直。
但是，这里需要注意的这里的法向量方向是对等高线来说的，而非对曲面，曲面法向量需要添加对u求偏导。因为梯度方向是降维的，都是对自变量求导的。
而向量(x'(t),y'(t),z'(t))表示曲线的切向量，向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)表示梯度，所以梯度和切向量垂直。
说道这里，可能还不好理解，用爬山来举例。
爬山是最快的方向就是直观上最陡的方向，我们看着是斜向上的。而爬山时梯度方向是水平的【延伸到高维就不能说水平了】，即把那个斜向上的方向投影到水平面上的方向，也就是等高线的法向量方向了。
总结，讨论梯度与切向量、法向量的关系时，切法向量均是对曲线来说的，而不是整个曲面的法向量。因为梯度的维度比曲线的维度低，这是需要记住的。