三角函数
正加正在前
正减正后迁
余余一色余
余差反了天
零、写在前面
这只是闲着没事随便写着玩的，大家随便看看就行。
一、基本定义
设角 \alpha 的终边与单位圆交于点 P(x,y) , 则有
\sin \alpha=y , \cos \alpha=x
\tan \alpha =\frac{y}{x} , \cot\alpha=\frac{x}{y}
\sec \alpha=\frac{1}{x} , \csc\alpha=\frac{1}{y}
二、同角三角函数基本关系
由上边的式子可以直接得出以下三个关系式（倒数关系）：
\tan\alpha\cot\alpha=1
\sin\alpha\csc\alpha=1
\cos\alpha\sec\alpha=1
还可以得出如下商的关系：
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\tan\alpha=\frac{\sec\alpha}{\csc\alpha} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha=\frac{\csc\alpha}{\sec\alpha}
结合勾股定理，我们还可以得到下述平方关系：
\sin{2}\alpha+\cos{2}\alpha=1
这些关系式很简单，就不推导了。
三、特殊值
当这篇文章读完之后，你一定可以推导出上表中任何一个值。
四、诱导公式
我不推荐大家记这个表
而是希望大家先熟悉一下最基本的三个三角函数（sin、cos 和 tan）的性质，然后再讨论遇到类似问题如何最快速地推导。
正弦函数是奇函数，最小正周期为 2\pi , 其导函数为余弦函数；
余弦函数是偶函数，最小正周期为 2\pi , 其导函数为正弦函数的相反数；
正切函数是奇函数，最小正周期为 \pi .
诱导公式的目的是什么呢？就是将 \sin(\frac{k\pi}{2}+\alpha) 中 \frac{\pi}{2} 的整数倍去掉，仅保留 \alpha . 因此我们可以按照上述性质一步步地化简：
按照其奇偶性，将 \alpha 变为负值；
根据正弦 / 余弦函数的周期性，将 2\pi 的整数倍全部去掉。若此时被加数为负，则再加上 2\pi ；
若被加的数绝对值仍不小于 \pi ，就将其绝对值直接减去 \pi ，然后取负号；
利用公式 \sin(\frac{\pi}{2} -\alpha)=\cos\alpha 和 \cos(\frac{\pi}{2} -\alpha)=\sin\alpha 得出结果。
举个例子： \cos(\frac{37\pi}{2} +\alpha)
原式 = \cos(-\frac{37\pi}{2} -\alpha) /将 \alpha 变为负值/
= \cos(-\frac{\pi}{2} -\alpha) /*利用周期性加上 9 个 2\pi */
= \cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha) /*再加上一个 2\pi */
= -\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) /减去 \pi 并加负号/
= -\sin\alpha
可以看出，按照这个步骤，完全不需要记忆那么多公式， 甚至连「奇变偶不变，负号看象限」都不需要 ，只要按部就班地做就可以得到正确答案。
而正切函数更简单，因为其最小正周期是 \pi , 因此最后只有加不加 \frac{\pi}{2} 的问题。
五、基本公式
下面看一个最基本的公式，这个公式很自然，但是确实下边各个公式推导的基础。
平面上两个单位向量，与 x 轴正向夹角分别为 x 和 y，则这两个向量分别为 (\cos x,\sin x) , (\cos y,\sin y) 。则这两个向量的点积为 \cos x\cos y+\sin x\sin y , 而点积又可以表示为 11\cos(x-y)=\cos(x-y) , 于是我们得到了以下公式：
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y (1)
这就是最基本的公式。从向量的角度，这个公式也是很自然的。
六、和差角公式
将 (1) 中的 y 用 -y 代入，即可得到
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y (2)
将 (1) 中的 x 用 \frac{\pi}{2} -x 代，再利用诱导公式，可以得到正弦函数的和差角公式：
\sin(x+y)=\cos y\sin x+\cos x\sin y (3)
(3) 式的 y 代成 -y ，有
\sin(x-y)=\cos y\sin x-\cos x\sin y (4)
(3)/(2),(4)/(1), 得到正切函数的和差角公式：
\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} (5)
\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y} (6)
七、倍角公式和半角公式
有了「六」中的式子，令 x=y ，很容易得到倍角公式和半角公式：
\sin 2x=2\sin x\cos x (7)
\cos 2x=\cos{2}x-\sin{2}x (8)
\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} (9)
注意到 (8) 式，由平方关系又可以写成 2\cos^{2}x-1 或 1-2\sin^{2}x . 所以我们就有半角公式（也叫降幂公式）：
\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} (10)
\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} (11)
两式相除，得
\tan^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} (12)
八、积化和差和和差化积公式
回头看看 (3) 式和 (4) 式，两式相加得到
\sin x\cos y=\frac{1}{2}\sin(x+y)+\sin(x-y)
而相减则得
\cos x\sin y=\frac{1}{2}\sin(x+y)-\sin(x-y)
(1)+(2)、(1)-(2) 同样可以得到两个积化和差的公式：
\cos x\cos y=\frac{1}{2}\cos(x+y)+\cos(x-y)
\sin x\sin y=\frac{1}{2}\cos(x-y)-\cos(x+y)
然后在上式中，令 u=x+y,v=x-y . 此时 x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2} ，立刻就得到了四个和差化积公式：
\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} (17)
\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2} (18)
\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} (19)
\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2} (20)
九、万能公式
万能公式是将 \sin x,\cos x 和 \tan x 均用 \tan \frac{x}{2} 表示。由于后者的值域为整个实数区间，因此方便考察许多性质。
首先我们知道， \tan x 的万能公式就是其二倍角公式 (9) 式。我们试着推导一下余弦函数的万能公式。
\cos x=&\cos(2\cdot \frac{x}{2})=\cos{2}\frac{x}{2}-\sin{2}\frac{x}{2}=[\cos{2}\frac{x}{2}-\sin{2}\frac{x}{2}]/[\cos{2}\frac{x}{2}+\sin{2}\frac{x}{2}]
=\frac{1-\tan{2}\frac{x}{2}}{1+\tan{2}\frac{x}{2}} (21)
正弦的就简单了，两个一乘就行：
\sin x=\cos x\tan x=\frac{1-\tan{2}\frac{x}{2}}{1+\tan{2}\frac{x}{2}}\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} (22)
十、写在最后
这篇文章实在是没什么技术含量，然而仓促之间我也写不出什么更好的东西了，大家凑合着看吧。